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置換和分の証明です。

置換和分の証明

置換和分の証明です。

更新日：

前進和分

f⁡(x)の原始関数の一つをF⁡(x)とすると、
∆hF⁡(x)∆hx=f⁡(x)…①
F⁡(x)=∆h-1f⁡(x)⁢∆hx…②
と置ける。
F⁡(x)をtで差分すると、合成関数の前進差分の公式と①より
∆hF⁡(x)∆ht=∆hF⁡(x)∆hx⁢∆hx∆ht=f⁡(x)⁢∆hx∆ht
まとめると
∆hF⁡(x)∆ht=f⁡(x)⁢∆hx∆ht…③
③の両辺をtで和分すると
F⁡(x)=∆h-1f⁡(x)⁢∆hx∆ht⁢∆ht…④
②＝④＝F⁡(x)より
∆h-1f⁡(x)⁢∆hx=∆h-1f⁡(x)⁢∆hx∆ht⁢∆ht

後退差分

f⁡(x)の原始関数の一つをF⁡(x)とすると、
∇hF⁡(x)∇hx=f⁡(x)…①
F⁡(x)=∇h-1f⁡(x)⁢∇hx…②
と置ける。
F⁡(x)をtで差分すると、合成関数の後退差分の公式と①より
∇hF⁡(x)∇ht=∇hF⁡(x)∇hx⁢∇hx∇ht=f⁡(x)⁢∇hx∇ht
まとめると
∇hF⁡(x)∇ht=f⁡(x)⁢∇hx∇ht…③
③の両辺をtで和分すると
F⁡(x)=∇h-1f⁡(x)⁢∇hx∇ht⁢∇ht…④
②＝④＝F⁡(x)より
∇h-1f⁡(x)⁢∇hx=∇h-1f⁡(x)⁢∇hx∇ht⁢∇ht

中心差分

f⁡(x)の原始関数の一つをF⁡(x)とすると、
δhF⁡(x)δhx=f⁡(x)…①
F⁡(x)=δh-1f⁡(x)⁢δhx…②
と置ける。
F⁡(x)をtで差分すると、合成関数の中心差分の公式と①より
δhF⁡(x)δht=δh⁢δhxδhtF⁡(Mtx)δh⁢δhxδhtMtx⁢δhxδht=f⁡(Mtx)⁢δhxδht
まとめると
δhF⁡(x)δht=f⁡(Mtx)⁢δhxδht…③
③の両辺をtで和分すると
F⁡(x)=δh-1f⁡(Mtx)⁢δhxδht⁢δht…④
②＝④＝F⁡(x)より
δh-1f⁡(x)⁢δhx=δh-1f⁡(Mtx)⁢δhxδht⁢δht

完成した公式

∆h-1f⁡(x)⁢∆hx=∆h-1f⁡(x)⁢∆hx∆ht⁢∆ht
∇h-1f⁡(x)⁢∇hx=∇h-1f⁡(x)⁢∇hx∇ht⁢∇ht
δh-1f⁡(x)⁢δhx=δh-1f⁡(Mtx)⁢δhxδht⁢δht
ただしx=g⁡(t)と置くと、
Mt⁡x=Mt⁡g⁡(t)=g⁡(t+h2)+g⁡(t-h2)2