トップページ > 記事の分類 > 数学論理 > 和分差分学 > 逆関数の差分の証明
逆関数の差分の証明です。

逆関数の差分の証明

逆関数の差分の証明です。

更新日：

前進差分

x=f⁡(f-1⁡(x))の両辺をxで差分すると
1=∆hf⁡(f-1⁡(x))∆hx=∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)f⁡(f-1⁡(x))∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)f-1⁡(x)⁢∆hf-1⁡(x)∆hx
∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)f⁡(f-1⁡(x))∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)f-1⁡(x)≠0であると仮定して変形すると
∆hf-1⁡(x)∆hx=1(∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)f⁡(f-1⁡(x))∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)f-1⁡(x))=1(∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)x∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)f-1⁡(x))
よって
∆hf-1⁡(x)∆hx=1(∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)f⁡(f-1⁡(x))∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)f-1⁡(x))=1(∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)x∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)f-1⁡(x))

後退差分

x=f⁡(f-1⁡(x))の両辺をxで差分すると
1=∇hf⁡(f-1⁡(x))∇hx=∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)f⁡(f-1⁡(x))∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)f-1⁡(x)⁢∇hf-1⁡(x)∇hx
∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)f⁡(f-1⁡(x))∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)f-1⁡(x)≠0であると仮定して変形すると
∇hf-1⁡(x)∇hx=1(∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)f⁡(f-1⁡(x))∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)f-1⁡(x))=1(∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)x∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)f-1⁡(x))
よって
∇hf-1⁡(x)∇hx=1(∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)f⁡(f-1⁡(x))∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)f-1⁡(x))=1(∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)x∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)f-1⁡(x))

中心差分

Mx⁡f-1⁡(x)=f-1⁡(x+h2)+f-1⁡(x+h2)2とする。
x=f⁡(f-1⁡(x))の両辺をxで差分すると
1=δhf⁡(f-1⁡(x))δhx=δ(h⁢δhf-1⁡(x)δhx)f⁡(Mx⁡f-1⁡(x))δ(h⁢δhf-1⁡(x)δhx)Mx⁡f-1⁡(x)⁢δhf-1⁡(x)δhx
δ(h⁢δhf-1⁡(x)δhx)f⁡(Mx⁡f-1⁡(x))δ(h⁢δhf-1⁡(x)δhx)Mx⁡f-1⁡(x)≠0であると仮定して変形すると
δhf-1⁡(x)δhx=1(δ(h⁢δhf-1⁡(x)δhx)f⁡(Mx⁡f-1⁡(x))δ(h⁢δhf-1⁡(x)δhx)Mx⁡f-1⁡(x))
よって
δhf-1⁡(x)δhx=1(δ(h⁢δhf-1⁡(x)δhx)f⁡(Mx⁡f-1⁡(x))δ(h⁢δhf-1⁡(x)δhx)Mx⁡f-1⁡(x))

完成した公式

∆hf-1⁡(x)∆hx=1(∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)f⁡(f-1⁡(x))∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)f-1⁡(x))=1(∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)x∆(h⁢∆hf-1⁡(x)∆hx)f-1⁡(x))
∇hf-1⁡(x)∇hx=1(∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)f⁡(f-1⁡(x))∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)f-1⁡(x))=1(∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)x∇(h⁢∇hf-1⁡(x)∇hx)f-1⁡(x))
δhf-1⁡(x)δhx=1(δ(h⁢δhf-1⁡(x)δhx)f⁡(Mx⁡f-1⁡(x))δ(h⁢δhf-1⁡(x)δhx)Mx⁡f-1⁡(x))
ただしMx⁡f-1⁡(x)=f-1⁡(x+h2)+f-1⁡(x+h2)2